分析中的问题和命题
第一章 算术和组合数(Arithemtic And Combination)
问题一:
原文:
PROBLEM 1. Let A and B denote positive integers such that A>B. Suppose ,moreover,that A and B expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common. Show that
p√A−p√B<1pHolds for p=2,3,4,…
中文版:
问题1:A 和 B 代表两个正整数,并且 A>B .此外假设,在使用十进制系统表示两数A和B时,他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。请证明:
p√A−p√B<1p其中 p=2,3,4,…
英文解:
Solution: Since
xp−ypx−y=xp−1+xp−2y+⋯+yp−1>pyp−1or y<x we obtain, on setting xp=A and yp=B
p√A−p√B<1pp√(A−B)pBp−1Let k be the number of digits of A−B . Then B has at least 2k+1 digits and so A−B<10k and B>102k .Thus.
(A−B)pBp−1<10pk10(2p−2)k=110(p−2)k≤1because p is at least equal to 2.Thus p√A−p√B<1p
中文解释:
当然中文解释会把每个步骤都详细说明。首先这是一个英文语文题,你要明白文中说的:that A and B expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common。 也就是在使用十进制系统表示两数A和B时,他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。这句。在英文中这句话隐含了什么信息呢?
首先两个数相同的位数,然后从左往右数有几位数是完全相同的,那么有多少位相同呢?至少是他们总位数的一半。那么直观的看是什么样的呢,看看下面这两个数吧:
A:1254559990B:1254558390A和B都有10位数,从左往右有6个数相同。后面的不一样。
好了,我们现在急需跟随原文进行证明。首先他构造了这样一个式子。
xp−ypx−y=xp−1+xp−2y+⋯+yp−1>pyp−1这个式子不难证明。大于号左侧的部分是n次方差的公式。而大于号需要直接使用x>y去替换等号右边的x。就可得到了。
然后,这里有一个值得注意的点上面式子的x和y是针对实数的。对于x>y的情况我们,我们令 xp=A 并且 yp=B 。注意A和B都是正整数。我们这里的等号是成立的。
好了带入上面的式子整理可得:
p√A−p√B<1pp√(A−B)pBp−1好了这道题关键的地方来了。现在我们令k为(A-B)拥有的位数。于是我们就知道B的位数就至少为2k+1。 这是为什么呢?
我们回到最开始对那话的解释。可以理解为A-B的位数就是A和B不同的位数。不同的位数我们刚才也知道了必选大于一半。所以A和B的位数最少最少也得为2k+1个。
于是乎,我们得到两个不等式。A−B<10k 和 B>102k 现在代入到上面大根号的位置看看发生了什么。
(A−B)pBp−1<10pk10(2p−2)k=110(p−2)k≤1为啥这里就小于等于1了呢?因为题中说p大于等于2了呗。证明完毕。
疑问:
这里的英文是否真的是说的A和B有相同的位数,有没有更好的解释?还有看到题目,最开始的不等式是怎么思考到的呢?书中对这些提都没有提。
参考文献:
我将一直的迷惑与无知,我是黄油香蕉君,再见。