分析中的问题和命题
第一章 算术和组合数（Arithemtic And Combination）
问题一：
原文：
PROBLEM 1. Let A and B denote positive integers such that $A > B$. Suppose ，moreover，that $A$ and $B$ expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common. Show that
Holds for $p = 2,3,4,…$
中文版：
问题1：$A$ 和 $B$ 代表两个正整数，并且 $A >B$ .此外假设，在使用十进制系统表示两数$A$和$B$时，他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。请证明：
其中 $p = 2,3,4,…$
英文解：
Solution: Since
or $y<x$ we obtain, on setting $x^p = A$ and $y^p=B$
Let $k$ be the number of digits of $ A-B $ . Then $B$ has at least $2k+1$ digits and so $A-B < 10^k $ and $ B > 10^2k $ .Thus.
because $p$ is at least equal to 2.Thus $\sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p}$
中文解释：
当然中文解释会把每个步骤都详细说明。首先这是一个英文语文题，你要明白文中说的：that $A$ and $B$ expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common。 也就是在使用十进制系统表示两数$A$和$B$时，他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。这句。在英文中这句话隐含了什么信息呢？
首先两个数相同的位数，然后从左往右数有几位数是完全相同的，那么有多少位相同呢？至少是他们总位数的一半。那么直观的看是什么样的呢，看看下面这两个数吧：
A和B都有10位数，从左往右有6个数相同。后面的不一样。
好了，我们现在急需跟随原文进行证明。首先他构造了这样一个式子。
这个式子不难证明。大于号左侧的部分是n次方差的公式。而大于号需要直接使用x>y去替换等号右边的x。就可得到了。
然后，这里有一个值得注意的点上面式子的x和y是针对实数的。对于x>y的情况我们，我们令 $x^p = A$ 并且 $y^p=B$ 。注意A和B都是正整数。我们这里的等号是成立的。
好了带入上面的式子整理可得：
好了这道题关键的地方来了。现在我们令k为（A-B）拥有的位数。于是我们就知道B的位数就至少为2k+1。 这是为什么呢？
我们回到最开始对那话的解释。可以理解为A-B的位数就是A和B不同的位数。不同的位数我们刚才也知道了必选大于一半。所以A和B的位数最少最少也得为2k+1个。
于是乎，我们得到两个不等式。$A-B < 10^k $ 和 $ B > 10^2k $ 现在代入到上面大根号的位置看看发生了什么。
为啥这里就小于等于1了呢？因为题中说p大于等于2了呗。证明完毕。
疑问：
这里的英文是否真的是说的A和B有相同的位数，有没有更好的解释？还有看到题目，最开始的不等式是怎么思考到的呢？书中对这些提都没有提。
参考文献：
我将一直的迷惑与无知，我是黄油香蕉君，再见。
