前言

高等数学书里有的时候给了证明过程，但是却没有给原因。就好像解题方法自己飞出来一样。如鬼故事一般。

数列收敛唯一性的证明

我们都记得在学习高等数学的时候有关于数列极限唯一性的证明。即一个数列只能收敛与一个数。在证明过程中使用反证法：
假设一个数列同时收敛于a和b然后构造了一个ε=(b-a)/2.
然后你会发现你可以轻松的证明出了定理.但是为什么呢?我也是百思不得其解.为什么要这样构造ε呢?

让们我重头解决问题

首先回顾一下数列的极限(收敛)定理是什么样的:

设 {Xn} 为一个数列,如果存在常数 a ,对于任意的的正数 ε (无论他多么的小),总存在正数 N ,使得当 n>N 时,不等式 |Xn-a|<ε 都成立.

那么我们不妨先假设其收敛与M和N看看最直观的会发生什么.由于a和b肯定不一样不妨令a>b;

1 2	n>N1时,\|Xn-a\|<ε1 总成立. n>N2时,\|Xn-b\|<ε2 总成立.

这是你能要分类讨论了!当Xn-a>0的情况或Xn-a<0的情况.会得出一下两个式子.

1 2	Xn-a < ε1; a-Xn < ε1;

这是在收敛与a的时候就是两种收敛于b的时候又是两种,排列组合就是4种情况要去讨论,简直就是噩梦. 难道就没有办法了吗?
要是这两个式子都成立就好了.等等! [1]
这时我们要注意了!!!在定义中ε是一个正数也就是说这两个式子总是成立:

1
2
3

Xn-a>0时:  
Xn-a < ε1;成立;由原不等式直接得到.  
a-Xn < ε1;也成立,因为a-Xn<0一定小于一个正数ε.

那么反过来呢?我们来看看:

1
2
3

Xn-a<0时:
a-Xn < ε1;成立由原来的不等式直接得到
Xn-a < ε2;成立.小于零的数一定比大于零的数小

那么我也不用分什么情况了.每个式子都变成两个式子就行了.于是我们得到:

Xn-a < ε1;
a-Xn < ε1;
Xn-b < ε2;
b-Xn < ε2;
整理一下=>
Xn < ε1+a;(1)
xn > a-ε1;(2)
Xn < ε2+b;(3)
Xn > b-ε2;(4)

我们始终记得我们要用反证法.那么我们就需要找到矛盾.看看(1),(4)是不是一下就有了灵感.

1
2
3

ε1+a = b-ε2
=>
ε1+ε2 = b-a;

看看!看看!这里就明白了书中的策略.他令ε1=ε2=ε于是计算出ε=(b-a)/2的!
其实这里只需要满足这个式子就可以了不一定要什么ε1=ε2我觉得书中的写法反而不利于我们理解.
其实细心的你一定也发现了这个式子不具备普世性.试试这个式子!

1	ε1+a >= b-ε2

这才是最终的解题关键!读者不妨试试令ε = (b-a)/16一样可以证明得出.这就交给你们自己去完成吧.

思考

在最初复习高数的时候我在看这段证明时怎么也想不出来!于是卡在这里。我先是奇特于为什么ε要那样的赋值。于是认真的跟着步骤计算了一遍怎么也得不到其中的结果。我思考如果我证明的话我会怎么办.于是才有了这篇文章。
细心的读者可能注意到了[1]处我其实最想的是构造一个Xn> 什么的式子。这样我可以轻易的生产出矛盾。发现当Xn-a<0时可以做到后,开始思考其他情况下怎么证明,于是才有了后面的简化情况讨论。

我将一直的迷惑与无知，我是黄油香蕉君，再见。